Ο Πύργος του Β – Στην καρδιά της βιωματικής μάθησης

Από την παρουσίαση του βιβλίου του Σάκη Ροδίτη στο Επιμελητήριο Πατρών

 

Η ομιλία της Ιωάννας Παπαϊωάννου(*) στην παρουσίαση του βιβλίου του Σάκη Ροδίτη «Ο Πύργος του Β – Μια Μαθηματική περιπέτεια», στην Πάτρα

«…Στο ρόλο του  Ερατοσθένη δεν είδα μόνο τον εκφραστή της επιστημονική γνώσης, δεν είδα μόνο τον σοφό. Είδα τον δάσκαλο, τον εκπαιδευτικό που ενθαρρύνει τους μαθητές του, τους αποδέχεται και χτίζει εκεί όπου οι μαθητές του βρίσκονται. Είδα τον εκπαιδευτικό, αυτόν που οδηγεί τους μαθητές του να καταλάβουν το πώς και το γιατί των πραγμάτων, που τους δημιουργεί ερωτήματα και τους βοηθά να βρουν τις απαντήσεις, που αντικαθιστά την τιμωρία με τη «συνεργασία, την υπευθυνότητα, το σεβασμό της προσωπικότητας και την παιδαγωγική αντιμετώπιση»

«ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΜΟΥ ΧΑΡΑ να είμαι εδώ σήμερα και να  συμμετέχω στην παρουσίαση του βιβλίου του Σάκη Ροδίτη. Πρώτα απ’ όλα γιατί μου είναι ιδιαίτερα αγαπητός, τον εκτιμώ βαθύτατα, συνεργαστήκαμε περισσότερα από 15 χρόνια – στα προγράμματα Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης- και θαύμασα την ευρηματικότητα της διδασκαλίας του, τον συνεργατικό τρόπο δουλειάς του και τον τρόπο με τους οποίο επικοινωνούσε με τους μαθητές του.

Αλλά είμαι εδώ σήμερα, κυρίως γιατί διάβασα το βιβλίο του και απόλαυσα και η ίδια ένα ιστορικό μαθηματικό μυθιστόρημα γεμάτο ιδέες, γρίφους, ιστορίες, μουσικές, χρώματα αλλά και γεύσεις γραμμένο με χιούμορ και μια φρέσκια ματιά.

Ο Σάκης Ροδίτης με αυτή την ιστορική μαθηματική περιπέτεια με ταξίδεψε από την ελληνική αρχαιότητα μέχρι και τη σύγχρονη εποχή με όχημα δυο φίλους τον Εβαρίστ και τον Αλ.

• Ο Εβαρίστ έχει πάρει το όνομά του από τον Εβαρίστ Γκαλουά Γάλλος Μαθηματικός, που παρόλο το σύντομο βίο του προσέφερε πολλά στα μαθηματικά, και στην ιστορία αντιπροσωπεύει τα Δυτικά Μαθηματικά και
• Ο Αλ δανείστηκε το όνομά του από Αλ- Κβαρισμί (λατινοποιημένο Αλ-Χουαρισμί), σοφό από τη Βαγδάτη που συνέταξε την πρώτη καθαρή πραγματεία για την Άλγεβρα με τίτλο  al-jarb και έδωσε στην Άλγεβρα το όνομά της), και αντιπροσωπεύει τα Αραβικά μαθηματικά

Οι δυο νεαροί, τον Αύγουστο του 1997, το μήνα με τα δυο φεγγάρια, στο φανταστικό νησί «Αίφος» (αναγραμματισμός της ΣΟΦΙΑΣ), για τέσσερις μέρες περιηγούνται  στον «πύργο του Β» που έχει για φύλακα τον Ερατοσθένη.

• Ο Ερατοσθένης, με το παρατσούκλι Β’ (δηλαδή ο δεύτερος) που αντιπροσωπεύει τα Ελληνικά Μαθηματικά.

Ο Ερατοσθένης έζησε στην Αλεξάνδρεια 275-195 π.Χ  και ήταν σπουδαίος σε πολλούς τομείς, πουθενά όμως δεν ήταν ο πρώτος. Έτσι πήρε το παρατσούκλι ο Β’ ως δεύτερος σε αντιδιαστολή με τον Δημόκριτο).

Ο «Πύργος του Β’» στον οποίο οι δυο φίλοι περιηγούνται είναι το κάστρο της γνώσης. Είναι κάθε τι που μας βάζει σε κίνηση προς τα μπρος. Ότι μας κλείνει πονηρά το μάτι στη ζωή. Το κάθε τί  που μας οπλίζει με γνώση και μας οδηγεί σε δράση για τη νέα γνώση.

 

Χρονικά η ιστορία εξελίσσεται σε δύο επίπεδα που αναπτύσσονται μέσα από τη διαλογική συζήτηση των πρωταγωνιστών: ένα σύγχρονο και ένα που χάνεται στο βάθος των χιλιετιών. Στην πορεία μέσα στον πύργο, τίθενται προβλήματα, διατυπώνονται θεωρήματα και αναζητούνται λύσεις, άλλοτε της καθημερινής ζωής και άλλοτε του θεωρητικού διαλογισμού. Οι πρωταγωνιστές αναζητούν και σχολιάζουν λύσεις και κατασκευές αντιπροσωπεύοντας τις τρεις μαθηματικές τάσεις και πνευματικές εποχές. Οι δυο φίλοι μέσα από παιχνίδια, γρίφους, καθοδηγούμενη παρατήρηση, προβληματισμό, κατασκευές και θεατρικό παιχνίδι (δηλαδή εναλλακτικούς τρόπους μάθησης) προσεγγίζουν την ιστορία της ανθρώπινης σκέψης.

Περνούν από:

• την αίθουσα των αριθμών,
• τη αίθουσα του Θαλή και του Πυθαγόρα,
• την αίθουσα του π ,

παίρνουν μια ανάσα ήλιου και συνεχίζουν με:

• την αίθουσα των γρίφων,
• των παιχνιδιών και των κατασκευών,
• την αίθουσα του Αρχιμήδη,
• την αίθουσα των εναλλακτικών μαθηματικών

και  καταλήγουν:

• στην αίθουσα των σοφών,

για να διαπιστώσουν ότι «σκέψη είναι η κίνηση της μνήμης, μνήμη είναι η εμπειρία και οι γνώσεις» και συνεπώς «σκέφτομαι άρα υπάρχω …. αλλά και δρω για να συνεχίσω να υπάρχω».

Με εργαλείο το μαθηματικό τρόπο σκέψης ο συγγραφέας μας παροτρύνει:

• να ανακαλύψουμε κάτι από τη βαθύτερη σοφία του ανθρώπινου μυαλού και
• να γνωρίσουμε τους εαυτούς μας σε ένα αλλιώτικο πλαίσιο, έτσι που να πλησιάσουμε το νόημα της ζωής ή ίσως πιο σωστά να βρει ο καθένας μας το δικό του νόημα.
• ως δάσκαλοι να διαμεσολαβήσουμε για τη μετάβαση προς τη γνώση,

να ενθαρρύνουμε και να αποδεχόμαστε τους μαθητές μας, να μην επιδιώκουμε τη διατύπωση του κανόνα αλλά τη συμμετοχή των μαθητών μας στην πορεία προς τον κανόνα, με μια διαδικασία που προωθεί παράλληλα την προσωπική ανάπτυξη των μαθητών καθώς και την ευαισθητοποίησή τους σε κοινωνικά προβλήματα και σε θέματα ανθρώπινων σχέσεων.

• να δούμε τη μάθηση σαν «ένα ταξίδι ανακάλυψης του νοήματος της ανθρώπινης ύπαρξης και της φύσης του κοινού καλού».

Το βιβλίο περιέχει πολλές έγκυρες ιστορικές μαθηματικές αναφορές. Πολλές από αυτές αναφέρονται, ως ιστορίες, από τους πρωταγωνιστές και άλλες παρατίθενται ως σημειώσεις στο τέλος των σελίδων. Επίσης, υπάρχουν πολλές εγκυκλοπαιδικές και ιστορικές παρεμβάσεις, παλιότερες αλλά και σύγχρονες, όχι κατ΄ ανάγκην μαθηματικές πάντα.

Ιωάννα Παπαΐωάννου, Γιώργος Αφράτης και Σάκης Ροδίτης, στην παρουσίαση του βιβλίου «Ο Πύργος του Β-Μια Μαθηματική περιπέτεια» (αίθουσα του Επιμελητήριου Αχαΐας στην Πάτρα).

Δεν είναι απαραίτητο να είναι κανείς Μαθηματικός για να:

1. Ανακαλύψει τη μυστικιστική δύναμη των αριθμών

Γιατί οι άνθρωποι άργησαν να ανακαλύψουν το μηδέν;

Γιατί έμεινε στη διάλεκτο του νοικοκυριού το ……μια δωδεκάδα κουταλάκια ή μια ντουζίνα αυγά;

Γιατί μιλάμε για τον 7^ο ουρανό;

Γιατί το 13 θεωρείται γρουσούζικο;

 

Ένα τετράγωνο κομμάτι χαρτί δεν μπορεί να διπλωθεί στη μέση περισσότερες από 7 φορές;

Ποιοι είναι οι «φίλοι» αριθμοί; Το 220 και 284 = φίλοι αριθμοί

Γιατί το 12 είναι συμβολικός αριθμός για τις περισσότερες θρησκείες; (δεν είναι ούτε τυχερός ούτε άτυχος- απλά ουδέτερος)

Γιατί ο Θεός έφτιαξε τον κόσμο σε 6 μέρες ενώ μπορούσε να τον φτιάξει σε μια στιγμή;

Στην αίθουσα των αριθμών θα βρείτε τις απαντήσεις

Όπως Οι ημέρες της δημιουργίας είναι 6 για να απεικονίζουν την τελειότητα του σύμπαντος (6= τέλειος αριθμός/ οι γνήσιοι διαιρέτες του αν προστεθούν δίνουν τον αριθμό)

2. Να εντρυφήσει στην Ελληνική σκέψη αλλά….

και να βρεί αναφορές για την αρχαία ελληνική σκέψη στον Κικέρωνα, στον Γκαίτε ,στον Βολταίρο, στον Νίτσε, στον Μάρξ αλλά και στον Μπ. Σω

Είναι φανερό (σε όλες τις αίθουσες που περιηγούνται οι ήρωες) ότι ο Ελληνικός πολιτισμός:

• υπήρξε βασικός εκφραστής ιστορικών ανατροπών και ανακατατάξεων
• και από τον 6^ο π.Χ αιώνα καθιέρωσε μια διαφορετική στάση απέναντι στη γνώση με την ανάπτυξη της φιλοσοφίας και το πέρασμα από το μύθο στο λόγο,
• απέκρουσε τη στήριξη της γνώσης στην αυθεντία και επιζήτησε τη στήριξη της στη λογική η οποία αναδείχθηκε μέσα από το σεβασμό του ατόμου.

 

Οι ήρωες περιηγούνται στις αίθουσες των Θαλή, Πυθαγόρα και Αρχιμήδη, λύνουν μυστήρια και γρίφους προκειμένου να προχωρήσουν Και εσείς μαζί τους θα γνωρίσετε τους…

• Θαλή: Ο πρώτος φιλόσοφος (Το 600 π.Χ ) που τόλμησε να μιλήσει για την προέλευση του σύμπαντος! Ανεκτίμητη η αξία της ερευνητικής του προσπάθειας η οποία κυριαρχείται από επιστημονική νοοτροπία σκέψης. Η φιλοσοφία του βασιζόταν σε δυο εσφαλμένες προϋποθέσεις: ότι η γη αποτελεί ένα επίπεδο δίσκο που επιπλέει στο νερό και ότι όλα προέρχονται από το νερό και καταλήγουν στο νερό! Πρώτος ασχολήθηκε με τη φύση, βρήκε τις εποχές και διαίρεσε το χρόνο σε 365 ημέρες!
• Πυθαγόρα: ανακάλυψε τη μουσική κλίμακα όταν άκουσε τα σφυριά σε ένα χαλκουργείο και αναγνώρισε τις τρεις συμφωνίες της 4^ης, 5^ης και της 8^ης. Ο Πυθαγόρας είδε τη μαθηματική δομή της μουσικής και στις αρχές της αρμονίας του βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική.
• Αρχιμήδη: που αντικατέστησε την ιδέα της κατασκευής ισοδύναμου σχήματος με εκείνη της μέτρησης, συνέδεσε το όνομά του με τη γένεση της Μηχανικής, (ΕΥΡΗΚΑ) με τη λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν τις Συρρακούσες –τη γενέτειρά του. Ο Αλ αφηγείται τη μάχη των Συρακουσών, περιγράφει τις μηχανές του Αρχιμήδη και πως ο ίδιος χαμογέλασε στον θάνατο λέγοντας στον στρατιώτη που με το ξίφος απειλούσε να τον σκοτώσει πως «οι κύκλοι που έχει χαράξει στην άμμο είχαν για αυτόν μεγαλύτερη αξία από τη ζωή του» (ΜΗ ΜΟΥ ΤΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥΣ ΤΑΡΑΤΤΕ).

Εκτός από τον Θαλή, τον Πυθαγόρα και τον Αρχιμήδη, μεγάλους αρχαίους Έλληνες διανοητές και επιστήμονες…… υπάρχουν εκτενείς αναφορές στη φιλοσοφία και το έργο:

• του Ηράκλειτου: Η φιλοσοφία του Ηράκλειτου «Τα πάντα ρει». Για τον Ηράκλειτο σημασία δεν είχε τόσο η αδιάκοπη αλλαγή, όσο η πάλη των αντιθέτων. Από την πάλη των αντιθέτων προκύπτει νέα αρμονία! ΕΚ ΤΩΝ ΔΙΑΦΕΡΟΝΤΩΝ ΚΑΛΛΙΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΑΝ, διότι ΤΟ ΑΝΤΙΞΟΥΝ ΣΥΜΦΕΡΕΙΝ!. Δίδασκε ότι η θάλασσα μπορεί να είναι ταυτόχρονα σωτήρια και ολέθρια! (Διαλεκτική σκέψη)
• του Ζήνωνα –κορυφαίο Στωϊκό: το παράδοξο του Ζήνωνα  Θα φτάσει ο Αχιλλέας τη χελώνα αν την αφήσει να προπορεύεται 100 μέτρα και αυτός τρέχει με ταχύτητα 10πλασια της χελώνας;– Το άθροισμα 100+10+1+0,1+0.01+…= 111,111… άπειρο ή πεπερασμένο;
• του Κυνικού Διογένη: διάλογό του με τον Πλάτωνα – Εγώ που ξέρω να τιμώ το Διονύσιο (τύραννος της Αθήνας) δεν είμαι αναγκασμένος να μένω σε πιθάρι και να τρώω λάχανα αλλά εγώ που ζω σε πιθάρι και τρώω λάχανα δεν είμαι αναγκασμένος να τιμώ το Διονύσιο,
• του Παλαμήδη (τα γράμματα εφεύρεση του),
• του Δημόκριτου και του Ευκλείδη,
• του Αριστοτέλη: που λέει ότι όποιος λέει κάτι πρέπει να μην περιορίζεται σε ισχυρισμούς αλλά να αναφέρεται και στην αιτία των όσων ισχυρίζεται .και να προσκομίζει απόδειξη των όσων υποστηρίζει.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ! ΕΞΗΓΗΣΗ! ΔΙΑΣΑΦΗΣΗ! ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗ! ΟΡΘΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ!

• του Αριστόξενο ( θεμέλια της ακουστικής),
• του Αστρονόμο Μέτωνα  (ρυμοτομία της Αθήνας),
• του Αρχύτα (επινόησε και κατασκεύασε το πρώτο αεριωθούμενο)
• του Ερατοσθένη (υπολόγισε την ακτίνα της γης)
• του Αρίσταρχου του Σάμιου (πρώτος πρότεινε το ηλιοκεντρικό σύστημα)

3. Να θαυμάσει την Ελληνική γλώσσα!

Κάθε λέξη στην Αρχαία Ελλάδα είχε και αριθμητική αξία – η οποία μάλιστα βρισκόταν γραμμένη πλάι στην εγγράμματη φθογγική ενότητά της. Ο λεξάριθμος ήταν το άθροισμα της αριθμητικής αξίας των γραμμάτων της λέξης

• Με δεδομένο ότι α=1, ι=10, κ=20, ρ=100, σ=200,…..

Ο λεξάριθμος της λέξης ΜΗΚΟΣ είναι ( 40+8+20+70+200=338)

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ (80+5+100+5+10+500+5+100+5+10+1+200= 1016)

ΚΥΚΛΟΥ(20+400+20+30+70+400=940)

338+1016+940=2294

ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ (4+10+1+40+5+300+100+70+200=730)

ΜΗΚΟΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΚΥΚΛΟΥ/ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ 2294/730=3,14

Αλλά και ο αριθμός των γραμμάτων της κάθε λέξης φαίνεται να έχει ιδιαίτερη σημασία:

• Η Φράση ΑΕΙ Ο ΘΕΟΣ Ο ΜΕΓΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΕΙ,

ΤΟ ΚΥΚΛΟΥ ΜΗΚΟΣ ΙΝΑ ΟΡΙΣΕΙ ΔΙΑΜΕΤΡΩ,

ΠΑΡΗΓΑΓΕΝ ΑΡΙΘΜΟΝ ΑΠΕΡΑΝΤΟΝ

ΚΑΙ ΟΝ, ΦΕΥ, ΟΥΔΕΠΟΤΕ ΟΛΟΝ ΘΝΗΤΟΙ ΘΑ ΕΥΡΩΣΙΝ

στηριγμένη στη γνωστή ρήση του Πλάτωνα , ο οποίος κατά τον Πλούταρχο στα Συμποσιακά, έλεγε «τον Θεόν αεί γεωμετρείν», καλά συμπληρωμένη σε τεράστιχο από τον καθηγητή Ν. Χατζηδάκη.

Μας δίνει τον αριθμό  3,1415926536897932384626

4. Να διαπιστώσει ότι δεν τα είπαν όλα οι αρχαίοι Έλληνες

 

Αναφορές γίνονται στους Βαβυλώνιους, τους Αιγύπτιους, τους Χαλδαίους, τους Κινέζους, τους Ινδούς, τους Μάγια, τους Ολμέκους, τους Ρωμαίους και τους Σουμέριους. Οι δυο φίλοι αναζητούν τις απαντήσεις στους προβληματισμούς του ανθρώπου ανατρέχοντας σε άλλους παλιούς πολιτισμούς αλλά και στους νεώτερους επιστήμονες, μαθηματικούς όπως Gauss, Euler, Fibonacci, Ferma, φυσικούς και αστροφυσικούς όπως Γαλιλαίο, Νεύτωνα, Κοπέρνικο, Χάμπλ, Αινστάιν, Χόκινγκ, και φιλοσόφους όπως Χέγκελ, Piaget, Zan Luc Gondar, Kamu, Ζιζεκ.

5. Να προσεγγίσει διάφορες κοσμοθεωρίες και το άπλωμα της ανθρώπινης σκέψης σε άλλα γεωγραφικά μήκη και πλάτη
   • να «παρακολουθήσει» ένα φανταστικό διάλογο, τον 5^ο π.χ αιώνα, στα δωμάτια της Ασπασίας όπου το κάθε τι ανάδιδε μυρωδιές Ανατολής και Δύσης, ανάμεσα στους μεγάλους άνδρες και στοχαστές της ζωής, τον Πυθαγόρα (Ελλάδα), Βούδα και Μαχαβίρα (Ινδία), Κομφούκιο και Λάο Τσε  (Κίνα) και τον  Ζωροάστρη (Ιράν), για τη δολοφονία της Υπατίας.

Να βλέπουμε τον άνθρωπο ως μέρος της άπειρης φύσης (Κομφούκιος)

Να είμαστε προσεκτικοί με τις σκέψεις μας γιατί αυτές είναι η αρχή των πράξεών μας (Λάο Τσε).

Είμαστε ότι σκεφτόμαστε / Ας νικήσουμε την οργή με αγάπη, την τσιγγουνιά με γενναιοδωρία, ας απαντήσουμε στο κακό με καλό! (Βούδας)

Πρέπει να δράσουμε, ένας θάνατος δεν έχει μέσα του μόνο το κακό. Τα πάντα ρει όπως λέει και ο Ηράκλειτος (Πυθαγόρας)

6. Να δει την εξέλιξη των επιστημών
   • Πως τα ερωτήματα που έθεσε ο Αρχιμήδης αποτέλεσαν το θεμέλιο λίθο των συγκριτικών μαθηματικών. Τα συνδυαστικά μαθηματικά αποτελούν θεμέλιο λίθο της επιστήμης των ηλεκτρονικών υπολογιστών
   • Πως περάσαμε από τον άβακα και τον αστρολάβο των Κυθήρων, στον ψηφιακό υπολογιστή και στη συνέχεια από το τρανζίστορ και τους μικροεπεξεργαστές για να φτάσουμε στο pendium.
7. Να δει το ρόλο που παίζουν οι αυθεντίες σε όλες τις ιστορικές περιόδους

Με το κύρος και τις εμμονές τους φρενάρουν την ανάδειξη νέων εξίσου σημαντικών διανοητών ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

• «Η φύση αποστρέφεται το κενό» είπε ο Αριστοτέλης και έκοψε τη συζήτηση (για το μηδέν) για τα επόμενα δυο χιλιάδες χρόνια. Το 1491 καθιερώθηκε τελικά το μηδέν, όπως αναφερόταν σε βιβλίο του μεγάλου μαθηματικού Fibonacci, αντί του «τίποτα» που προσπαθούσαν οι κληρικοί να καθιερώσουν
• «Η Δύση αποφασίζει για όλο τον πλανήτη»: Ένας Άραβας έφτιαξε εγχειρίδιο χρήσης των ινδικών αριθμών. Έντυπο που μεταφράστηκε στα λατινικά και διαδόθηκε γρήγορα και έτσι οι ινδικοί αριθμοί, το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, λέγονται αραβικοί.
• Οι αραβικοί αριθμοί αν και πέρασαν στην Ευρώπη τον 10^ο αιώνα δεν είχαν διαδοθεί έως τον 13^ο γιατί υπήρξε τεράστια αντίδραση από την Εκκλησία και τους Αβακιστές. Οι Αβακιστές, ως βασικοί γνώστες της χρήσης του άβακα έκαναν τους λογαριασμούς επ’ αμοιβή και προφανώς δεν ήθελαν να χάσουν την πηγή πλούτου που τους απέφερε η λογιστική γνώση. Η Παπική εκκλησία διέδιδε ότι η αραβική μέθοδος είχε κάτι το δαιμονικό γιατί φοβόταν να χάσει το μονοπώλιο της εκπαίδευσης.
• Ο Αρίσταρχος ο Σάμιος (έζησε 310-230 π.χ) διατύπωσε τη θεωρία ότι ο Ήλιος είναι το κέντρο του σύμπαντος και γύρω από αυτόν περιστρέφονται οι πλανήτες. Θεωρία που δεν υιοθετήθηκε από τον αρχαίο κόσμο – θυμηθείτε τη θεωρία του Αριστοτέλη στο βιβλίο «Περί ουρανού» να υποστηρίζει ότι η γη είναι σφαιρική και βρίσκεται στο κέντρο του σύμπαντος. Έτσι η θεωρία του Αρίσταρχου ξεχάστηκε. Μετά από αιώνες σιωπής το 1533 ο Κοπέρνικος επαναδιατύπωσε τη θεωρία του Αρίσταρχου και ο Γαλιλαίος εκατό χρόνια μετά απέδειξε ότι οι απόψεις του Κοπέρνικου ήταν σωστές Για τις απόψεις αυτές διώχθηκε από τη Ρωμαιοκαθολική εκκλησία, τις ανακάλεσε και μετέτρεψε τη θανατική ποινή σε κατ’ οίκον περιορισμό.

8. Να αντιληφθεί ότι μερικές φορές, πιο σημαντικό από τη λύση του προβλήματος είναι το ίδιο το ερώτημα
   Το οστομάχιο του Αρχημήδη είναι το αρχαιότερο παζλ., ένα τετράγωνο χωρισμένο σε14 επίπεδα σχήματα. Χρησιμοποιώντας τα κομμάτι του μπορείς να συνθέσεις διάφορες αφαιρετικές εικόνες. Το ερώτημα όμως. «Με πόσους τρόπους μπορούν τα 14 κομμάτια του να συνδυαστούν ώστε να φέρουν το ίδιο αποτέλεσμα» είναι ερώτημα συνδυαστικής τεράστιας δυσκολίας! (το σύνολο των τρόπων είναι 17.152 και χρειάστηκαν 4 μαθηματικοί να δουλέψουν για 6 εβδομάδες για να το απαντήσουν)

9. Να εναδιατυπώνει τη σκέψη του με άρνηση της αρχικής όταν φτάνει σε ένα σημείο όπου έχει μπλοκάρει, και τότε να αρχίσει να βλέπει πράγματα που δεν έβλεπε αρχικά
    
   • Η χαμένη δραχμή (ένα μπουκάλι κρασί κοστίζει 300 δρχ. τρεις φίλοι δίνουν από 100 δρχ ο ένας και το αγοράζουν. Φεύγοντας ο υπάλληλος λέει πως έκανε λάθος και το κρασί κοστίζει 295 δρχ. τους δίνει 5 δρχ ρέστα. Αυτοί επειδή δεν μπορούν να μοιράσουν τις 5 δρχ παίρνουν από 1 και δίνουν 2 δρχ φιλοδώρημα στον υπάλληλο. 100-1=99 Χ 3=297 +2=299 Τι έγινε η 1 δρχ; 3Χ99=297-2=295 η αξία του κρασιού.

• Αν το σύνθημα είναι 6 και το παρασύνθημα 3, το σύνθημα είναι 8 και το παρασύνθημα 4, το σύνθημα είναι 12 και το παρασύνθημα 6, το σύνθημα είναι 14, το παρασύνθημα είναι…… (θα παίξετε το παιχνίδι με τον συγγραφέα)

Και αν ο αναγνώστης είναι εκπαιδευτικός και διδάσκει μαθηματικά μπορεί να:

1. Χρησιμοποιήσει τους γρίφους που ακονίζουν το μυαλό και σπάνε τη σχολική ρουτίνα
2. • Πώς να κόψουμε ένα κομμάτι χαρτί Α4 ώστε να χωράμε να περάσουμε μέσα του;
   • Ένα τούβλο ζυγίζει ένα κιλό και μισό τούβλο. Πόσα κιλά ζυγίζουν τα 2 τούβλα; 4 κιλά (γιατί αν αφαιρέσουμε μισό τούβλο από κάθε ζύγι θα βρούμε πως το μισό τούβλο ζυγίζει 1 κιλό)
   • 10 πιθάρια με λίρες. Τα 9 περιέχουν κανονικές και το 1 κάλπικες. Η κανονική λίρα ζυγίζει 10 gr ενώ η κάλπικη 9 gr. Πως θα εντοπίσουμε το πιθάρι με τις κάλπικες λίρες με μια μόνο ζύγιση. Μπορούμε να πάρουμε όσες λίρες θέλουμε από το κάθε πιθάρι. Από το 1^ο πιθάρι θα πάρουμε 1 λίρα, από το δεύτερο 2 κ.ο.κ Συνολικά θα έχουμε 45 λίρες. Άρα το βάρος τους θα είναι 45Χ10=450 αν ήταν όλες κανονικές. Αν η ζύγιση δείξει 449 σημαίνει ότι έχουμε πάρει 1 κάλπικη λίρα άρα το πρώτο πιθάρι έχει τις κάλπικες.
   • Λέμε τα πολλαπλάσια του 3 με μπλούμ (σε κύκλο) 1, 2, μπλουμ, 4, 5, μπλουμ, 7, 8, μπλουμ, 10, 11, μπλουμ, 13, 14, μπλουμ, 16, 17, μπλούμ, 19, 20, μπλούμ, 22, 23, μπλούμ, 25, 26, μπλούμ, 28, 29, μπλούμ
   • Λέμε το 5 με ΝΤΙΝ και το 7 με ΝΤΑΝ

1, 2, 3, 4, ΝΤΙΝ, 5, 6, ΝΤΑΝ, 8, 9, ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ,11,ΝΤΙΝ-ΝΤΑΝ, 13, ΝΤΑΝ-ΝΤΑΝ, ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ, 16, ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ-ΝΤΑΝ, 18, 19, ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ, ΝΤΑΝ-ΝΤΑΝ-ΝΤΑΝ, ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ-ΝΤΙΝ-ΝΤΑΝ, 23, ΝΤΑΝ-ΝΤΑΝ-ΝΤΑΝ, και να παρατηρήσουμε ότι από το 24 και πάνω όλοι οι αριθμοί είναι συνδυασμοί ΝΤΙΝ και ΝΤΑΝ.

2. Να πάρει ιδέες για αποδείξεις χωρίς λόγια – με κατασκευές
   • Με ένα χάρτινο τρίγωνο να αποδείξει ότι Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180^Ο
   • Με χαρτονάκια αποδεικνύουμε το πυθαγόρειο θεώρημα
   • Παίζει με ορθογώνια και να φτάνει στην παραγοντοποίηση
   • Χρησιμοποιώντας ένα σχοινί να χαράξετε στο πάτωμα μια ορθή γωνία (φτιάχνουμε ένα δωδεκάποντο κομποσκοίνι)
   • Να μετρήσουμε την απόσταση ενός πλοίου από τη στεριά με ένα χαρτί, ένα μολύβι, ένα τρίγωνο και μια μεζούρα (απ αυτές που έχουν οι μηχανικοί) 

 

3. Να φτάνει στη γενίκευση με καθοδηγούμενη παρατήρηση χρησιμοποιώντας απλά υλικά όπως λίγα φασόλια
   • 1+2+3+4+…ν=ν(ν+1)/2
4. Να ωθεί τους μαθητές του να ρωτούν και να προσπαθούν να καταλάβουν το πώς και το γιατί;

Και αν ο αναγνώστης είναι εκπαιδευτικός και ΔΕΝ διδάσκει μαθηματικά μπορεί να παροτρυνθεί να:

1. Διεγείρει τη φαντασία και τη δημιουργικότητα
   1. Η ιστορία ενός φοιτητή που του ζήτησαν να μετρήσει το ύψος ενός ουρανοξύστη χρησιμοποιώντας ένα βαρόμετρο.
      1. Το δένουμε σε σκοινί και μετράμε το ύψος του σκοινιού
      2. H=gt²/2 – αφήνουμε το βαρόμετρο να πέσει – μετράμε το χρόνο για να φτάσει στο έδαφος και υπολογίζουμε το ύψος

• Αν υπάρχει ηλιοφάνεια μετράμε τη σκιά του βαρόμετρου, τη σκιά του κτηρίου, το ύψος του βαρόμετρου και υπολογίζουμε το ύψος του κτηρίου

1. Βάζουμε σε ταλάντωση το βαρόμετρο, πάνω στο κτήριο και στο έδαφος, συγκρίνουμε τις δυο περιόδους (που είναι αντιστρόφως ανάλογες των τετραγωνικών ριζών των επιταχύνσεων της βαρύτητας g) . Αν γνωρίζουμε το g στην ταράτσα υπολογίζουμε το ύψος
2. Ορθόδοξο τρόπο: μετράμε την ατμοσφαιρική πίεση στην ταράτσα και στο έδαφος και μετατρέπουμε τη διαφορά των milibars σε διαφορά μέτρων

Επειδή ως φοιτητές διαρκώς παροτρυνόμαστε να εξασκούμε την ανεξαρτησία του μυαλού αναμφίβολα ο καλύτερος τρόπος θα ήταν να χαρίσουμε το βαρόμετρο στο θυρωρό και να τους ζητήσουμε να μας πει το ύψος του κτηρίου  είπε ο Niels Bohr  Δανός φοιτητής που αργότερα πήρε το Νόμπελ Φυσικής

4. Αναζητά εναλλακτικούς τρόπους διδασκαλίας
   • Να ξεκινά με την ανάδειξη της ανάγκης, την παρατήρηση, και να περνά στη δοκιμή, και τον έλεγχο για να φτάσει στην απόδειξη. Να είναι δηλαδή η απόδειξη η τέχνη του να φτάνεις με επιχειρήματα στο συμπέρασμα.
   • Να χρησιμοποιεί το παιχνίδι για να φέρει τους μαθητές του πιο κοντά στο κόσμο της επιστήμης (παράδειγμα Θεατρικό παιχνίδι αναπαράστασης του τότε κόσμου με τις απόψεις και τις δοξασίες της εποχής ανάμεσα στον Αρχιμήδη και τον Γέλωνα) για το πώς να ορίσουν την περιφέρεια του κύκλου
   • Να δει με πόσες αφορμές μπορούμε να βγάλουμε τους μαθητές μας «Έξω» από τη σχολική τάξη, όπου να παίξουν, να προβληματιστούν, και να πειραματιστούν για να μάθουν.

Από βιωματικές δράσεις με τον Σάκη Ροδίτη σε Δημοτικό Σχολείο των Χανίων.

5. Ανοίξει τη συζήτηση για την αειφορία και την προστασία του περιβάλλοντος με αφόρμηση επιστημονικά ευρήματα αλλά και ιστορίες, μύθους και παραμύθια
    
   • Από πού άραγε εμπνεύστηκαν το σχήμα της ανακύκλωσης και γιατί; (από την ταινία του Mobius που δεν έχει αρχή και τέλος, μόνο μια διαρκή πορεία)
   • Πόσα μπουκάλια αναψυκτικού θα πιεί μια οικογένεια που αγόρασε 24 μπουκάλια αναψυκτικού όταν συμμετέχει σε ένα πρόγραμμα ανακύκλωσης και ανταλλάσει με 1 γεμάτο 4 άδεια μπουκάλια αναψυκτικού; (32)

Θα πιεί 6 μπουκάλια. Θα ανταλλάξει τα 4 άδεια με 1 γεμάτο , θα δανειστεί 1 άδειο μπουκάλι , θα επιστρέψει 4 άδεια, θα πάρει 1 γεμάτο που θα το επιστρέψει απ όπου το δανείστηκε αφού το πιεί. Άρα για κάθε 6αδα που αγοράζει πίνει 8 μπουκάλια. Συνολικά αν αγοράσει 4Χ6 θα πιεί 4Χ8=32 μπουκάλια.

Το σημαντικό είναι η συζήτηση για την ανακύκλωση και τα οφέλη της!!

• Με αφορμή την ανακάλυψη του σκακιού (η προέλευσή του ανάγεται στους Ινδούς) και το ερώτημα «Πόσο να είναι το ρύζι που μπορούμε να τοποθετήσουμε πάνω στα 64 τετράγωνα ενός σκακιού; Αν ξεκινήσουμε με 1 κόκκο και κάθε φορά στο διπλανό τετράγωνο διπλασιάζουμε τους κόκκους; «μπορούμε να ξεκινήσουμε μια συζήτηση για τους φυσικούς πόρους και την εξάντλησή τους.

6. Δει τους δυο φίλους να συζητούν, να συγκρούονται, να διαφωνούν και μέσα από τη συνεργασία τους να προχωρούν τη σκέψη τους «πιο κάτω», άλλοτε μόνοι τους και άλλοτε με τη βοήθεια του Ερατοσθένη του Β΄

Στο ρόλο του  Ερατοσθένη δεν είδα μόνο τον εκφραστή της επιστημονική γνώσης, δεν είδα μόνο τον σοφό. Είδα τον δάσκαλο, τον εκπαιδευτικό που ενθαρρύνει τους μαθητές του, τους αποδέχεται και χτίζει εκεί όπου οι μαθητές του βρίσκονται. Είδα τον εκπαιδευτικό, αυτόν που οδηγεί τους μαθητές του να καταλάβουν το πώς και το γιατί των πραγμάτων, που τους δημιουργεί ερωτήματα και τους βοηθά να βρουν  τις απαντήσεις, που αντικαθιστά την τιμωρία με τη «συνεργασία, την υπευθυνότητα, το σεβασμό της προσωπικότητας και την παιδαγωγική αντιμετώπιση».

Είναι φανερό σε όλη την αφήγηση της περιπέτειας ότι η συνεργατική ατμόσφαιρα πλεονεκτεί …..στην επικοινωνία, την εμπιστοσύνη, την αποδοχή, τη συναισθηματική εμπλοκή, την ποικιλία των σκέψεων και την επίλυση των συγκρούσεων.

Ο ευκολότερος δρόμος για να φτάσεις κάπου δεν είναι η ευθεία λέει ο Εβαρίστ ….. αλλά η καλή παρέα.

Αυτά είναι κάποια από τα κομμάτια του βιβλίου που με εντυπωσίασαν και επέλεξα να σας παρουσιάσω. Αλλά όχι τα μόνα. Δεν σας είπα για τις αναφορές στην μεταμοντέρνα τέχνη, στον κινηματογράφο, για τα παιχνίδια του Nash, τα μαγικά τετράγωνα, τους γρίφους, για τον αλεατορισμό (εισάγει το στοιχείο του τυχαίου στη μουσική) τη μουσική των σφαιρών του Πυθαγόρα, τον Πύργο του Hanoi, τους Γεωπίνακες…

Για όλα όσα σας είπα, αλλά και για όσα δεν πρόλαβα να σας πω ….. μου άρεσε πάρα πολύ το βιβλίο του Σάκη Ροδίτη!  Το απόλαυσα και …..κυρίως  έπαιξα…..προσπαθώντας να λύσω προβλήματα που οι ήρωες συναντούσαν σε όλη τη διάρκεια της πορείας τους στο κάστρο.

Έπαιξα με το μολύβι και το χαρτί,, με ψαλίδι, με σπίρτα, με φασόλια, με σχοινιά, με σχήματα, με τα χέρια μου (προσπαθώντας να κάνω κατασκευές) και με το μυαλό μου προσπαθώντας να λύσω παράδοξα «Πας Κρης ψεύτης, αλλά Επιμενίδης Κρης».

Συμμετείχα σε όλη τη διάρκεια της περιπέτειας με τα μάτια μου, το μυαλό μου αλλά και τα αυτιά μου (σιγοτραγουδώντας το «Τι να τα κάνω τα τραγούδια μου του Δ. Σαββόπουλου, το «Teach me tiger με την M.Monroe, το «still I am sad με τον Eric Clapton, το “Dust in the wind” της Sarah Brightman, το «αναθεμά σε δε με λυπάσαι του Παντελή Θαλασσινού, το “woman” των Scorpions ……) και την όσφρησή μου (μυρίζοντας τα τόσα όμορφα παρουσιασμένα φαγητά που γεύονταν οι ήρωες : ρόκα με παρμεζάνα και λιαστή ντομάτα, χαλούμι σαγανάκι, μανιτάρια, κόκκινες πιπεριές, τσιζ κέικ και μπράουνις με παγωτό….).

Είδα τους ήρωες του βιβλίου να μάχονται να μετουσιώσουν σε κατάκαρπο δέντρο την εφηβική τους άνθηση και να αποφασίζουν να ακολουθήσουν αυτό το δρόμο και για την υπόλοιπη ζωή τους. Έζησα μαζί τους για να μάθω από αυτούς και επιβεβαιώθηκα για την άποψή μου ότι η βιωματική μάθηση είναι η οικειοποίηση της γνώσης μέσω της εμπειρίας και της αναζήτησης προσωπικού νοήματος σ’ αυτήν.

Για αυτό το τόσο ωραίο και πλούσιο ταξίδι σε ευχαριστώ Σάκη Ροδίτη!».

_____________________

(*) Η Ιωάννα Παπαϊωάννου είναι υπεύθυνη  Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Αχαΐας, Γεωλόγος – MSc στις Περιβαλλοντικές Επιστήμες.